Janjang Geometri | Nota Ringkas Matematik Tambahan Tingkatan 4 bab 5 | Jenjang | My Wislah | Wislah Malaysia |
Janjang Geometri merupakan konsep matematika yang penting dalam menghitung urutan nombor dengan memanfaatkan pemalar dan nisbah. Selain itu, janjang geometri juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan deret bilangan.
Janjang Geometri
Definisi: Janjang Geometri ialah urutan nombor di mana setiap sebutan dibentuk dengan mendarabkan pemalar dengan sebutan sebelumnya. Sebutan pertama ialah a. Nisbah sepunya ialah r yang dinyatakan sebagai r = T2/T1 = T3/T2 = … = Tn-1/Tn. Bilangan sebutan ialah n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, dan sebutan ke-n ialah Tn. Setiap sebutan ke-n boleh dicari dengan formula Tn = ar^(n-1).
Hasil tambah sebutan pertama hingga sebutan ke-n ialah Sn = a(1-r^n)/(1-r). Untuk r ≠ 1 dan -1 < r < 1, hasil tambah hingga ketakterhinggaan ialah S∞ = a/(1-r).
Kenyataan: Sebutan pertama, a, sama dengan T1 dan S1. Selain itu, Tn – Tn-1 = Sn – Sn-1 untuk n > 1.
Contoh 1:
Diberi sebutan ke-4 dan ke-6 bagi satu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan 10/3. Cari sebutan ke-8 jika semua sebutan adalah positif.
Diketahui bahawa T3 = 24 dan T5 = 10/3, maka
T5/T3 = (ar^(4-1))/(ar^(2-1)) = r^3
10/3 / 24 = r^3
r = 3/2
Jadi, a = 24/(3/2)^2 = 32 dan T8 = 128/27.
Contoh 2:
Cari bilangan sebutan terkecil, n, bagi janjang geometri 18, 6, 2, 2/3, … dengan keadaan Tn adalah lebih rendah daripada 0.0003. Seterusnya, cari Sn.
Diketahui bahawa a = 18 dan r = 3/1. Dengan menggunakan formula Tn = ar^(n-1), kita dapati bahawa T11 = 0.0001016. Oleh kerana Tn = ar^(n-1), maka
Tn/Tn-1 = r
(18(3^(n-1))) / (18(3^(n-2))) = 3
3^(n-1) = 3 * 3^(n-2)
n = 12
Jadi, n = 12 dan S∞ = 0.9998984.
Contoh 3:
Ungkapkan setiap perpuluhan berulang di bawah sebagai pecahan tunggal dalam sebutan terendah.
(a) 0.7777… = 7/9
(b) 0.151515… = 5/33
Penjelasan:
(a) Diketahui bahawa a = 0.7 dan r = 0.1. Dengan menggunakan formula S∞ = a/(1-r), kita dapati bahawa S∞ = 7/9.
(b) Diketahui bahawa a = 0.15 dan r = 0.01. Dengan menggunakan formula S∞ = a/(1-r), kita dapati bahawa S∞ = 5/33.
Kesimpulan
Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa janjang geometri adalah konsep matematika yang penting dalam menghitung urutan nombor dan memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan deret bilangan. Dalam menghitung janjang geometri, terdapat formula yang dapat digunakan untuk mencari sebutan ke-n dan hasil tambahnya. Selain itu, janjang geometri juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah matematika yang melibatkan deret bilangan. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk memahami konsep janjang geometri dan mengaplikasikannya dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan deret bilangan.
